Explicación Matemática: septiembre 2011

Ejercicios propuestos

1. Una hoja de papel debe tener 18 cm²de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
2. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
3. Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
4. Hallar a y b para qué la función: f(x) = a ln x + bx²+x tenga extremos en los puntos x₁= 1 y x₂= 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
5. Hallar primera y segunda derivada f(x) = -5x

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t,por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la funciónQ=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

tomado de :rincondelvago.com

Optimizacion

Por el teorema de fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de infelexion de la gráfica, como para ƒ(x) = x³ en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x²sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.

MÁXIMOS Y MíNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

Por la definición en un entorno del punto.
Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
1. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
2. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).
EJEMPLOS
Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
  
  Tomado de: http://www.juangordillo.com/derivadas/derivadas5.html
  http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico_(matem%C3%A1ticas)

Puntos críticos

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre R^m y Rⁿ, y mapas diferenciables entre variedades diferenciales .

Tomado de:http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico

Derivada de Orden Superior

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.